蝴蝶定理证明(数学大神送福利)
2023-01-15 本站作者 【 字体:大 中 小 】
1944年《美国数学月刊》首次出现一个像蝴蝶一样的图形题目,第一次出现了“蝴蝶定理”这个名称。事实上,在1815年,英国一本杂志《男士日记》上登出了一篇征解问题,这是“蝴蝶定理”的第一次问世,同时中学数学教师霍纳给出了第一个证明,这个证明方法就是“霍纳证法”,完全是基于初等的平面几何证明方法,这个证明方法也是最流行,最简洁的。相信很多初中的小伙伴也会证明!
蝴蝶定理:设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点。
最为欧氏几何的最精彩结论,“蝴蝶定理”仅仅停留在圆中,那是不可能的,今天我们一起来探讨圆锥曲线中的“蝴蝶定理”。它能为我们高考数学做哪些帮助呢?
事实上,通过射影变换,显然可以知道“蝴蝶定理”对于圆锥曲线的情形是非常适合的。但是如果针对一般情形,高考题不可能考察到,因为那样会使计算量异常恐怖。故对于高中数学,我们需要掌握两类“蝴蝶”模型就好,我们把它们称之为“横蝴蝶”和“竖蝴蝶”。
横蝴蝶
定理1:过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与短轴垂直的直线为相等的线段,即:PM=MQ
定理2:过双曲线虚轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与虚轴垂直的直线为相等的线段,即:PM=MQ
定理3:过抛物线对称轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段即:PM=MQ
下面看“横蝴蝶”两道应用题
竖蝴蝶
定理1:过椭圆长轴所在直线上任意一点T(t,0)的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等,即:NT=TM
定理2:过双曲线实轴所在直线上任意一点T(t,0)的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等,即:NT=TM
定理3:过抛物线对称轴所在直线上任意一点T(t,0)的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等,即:NT=TM
由于“竖蝴蝶”和“横蝴蝶”的用法基本类似,这里不再举例。
最后
迄今为止,“蝴蝶定理”的证法有60余种,其中又10余种用初等方法即可证明,200多年来,“蝴蝶定理”吸引了众多数学爱好者,在大家不断的完善过程中,又诞生了许许多多的推论形式。本文仅仅是把圆中的“蝴蝶”推广到了圆锥曲线中的“蝴蝶”,事实上,对于筝形、凸四边形、甚至退化为两条直线,“蝴蝶定理”都是成立的。希望本文能起到抛砖引玉的作用,激起同学们学习圆锥曲线的热情,欣赏圆锥曲线中蕴含的美感。
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