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第十届华杯赛初赛试卷及答案

《华杯赛历届真题》 共23届 初赛、决赛试题以及答案

华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版总社）、中国优选法统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心等单位联合发起并主办的，目前广东省惠州市人民政府、中国少年儿童新闻出版总社、中国优选法统筹法与经济数学研究会、新浪网、中国工业合作协会等单位为 “华杯赛”的主办单位。

“华杯赛”是以教育广大青少年从小学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想、刻苦学习的品质、热爱科学的精神；激发广大中小学生学习数学的兴趣、开发智力、普及数学科学为宗旨的活动。31年来，“华杯赛”已成功举办了二十二届赛事和六届“精英赛”活动，全国有包括香港、澳门、台湾在内的100多个城市和地区，4000多万少年儿童参加了比赛。“华杯赛”已成为了教育、鼓舞一代又一代广大青少年勇攀科学高峰和奋发向上的动力，深受广大学生、教师、家长的喜爱。日本、韩国、新加坡、马来西亚、菲律宾、蒙古国、美国等国家也先后派队参加。

“华杯赛”一贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。“华杯赛”主试委员会汇集了一大批经验丰富的、以华罗庚教授的学生为主的命题专家。“华杯赛”赛制为每年一届，每两年举办一次总决赛，没有总决赛的年份举办“国际精英赛”。

2010第15届华杯赛(初中组)决赛试题及答案

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（初一组）

（时间: 2010年4月10日10:00～11:30）

一、填空题 (每题10分, 共80分)

1.互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果 ,那么在点A, B, C中, 居中的是点 .

2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成,

这个立体图形的表面积为 .

3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km.

4.把自然数 分组, 要求每组内任3个数的最大公约数为1,则至少需分成 组.

5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数n有 个.

6.已知 , 则 的值等于 .

7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b, b, c, d, d, 且 , 那么a等于 .

8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满. 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.

二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)

9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3个相

邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.

10.已知k 是满足 的整数, 并且使二元一次方程组 有整数解. 问: 这样的整数k有多少个?

11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n. 若 , 求 的可能值.

12.解方程 ,其中 [x] 表示不大于x的最大整数.

三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)

13.右图中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积. 又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的 . 求六边形 的面积与六边形ABCDEF的面积之比.

14.一个单项式加上多项式 后等于一个整式的平方, 试求所有这样的单项式.

求小学数学“华杯赛”试题，速度！速度快，质量好好可追加到100分！

第五届华杯赛初赛试题及答案

1．一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入500立方厘米空气.问：他在一昼夜里吸人多少立方米空气?

2．下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？

3．某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播．问：最后一集在星期几播出?

4.计算：

5.用下面写有数字的四张卡片 排成四位数．问：其中最小的数与最大的数的和是多少?

6．甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进．现在甲位于乙的前方，乙距起点20米；当乙游到甲现在的位置时，甲已离起点98米．问：甲现在离起点多少米?

7. 有面值为1分，2分，5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分．问：有多少种不同的支付方法?

8．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?

9．甲、乙、丙三个学生在外午餐，共买了1斤4两包子．甲没有带钱，由乙和丙分别付了买8两和6两包子的钱．甲、乙吃的一样多，丙比乙多吃了1两．第二天，甲带来他应付的2元3角4分．问：其中应付给丙多少钱?

10．如下图，图中的曲线是用半径长度的比为2∶1.5∶0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少?

11. 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?

12．如下图是一个园林的规划图，其中，正方形的 是草地；圆的 是竹林；竹林比草地多占地450平方米．问：水池占地多少平方米?

13．50名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1，2，3，……．报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转．接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转．问：现在仍然面向老师的有多少名同学?

14．如下图中的大圆盖住了小圆的一半面积．问：在小圆内的大圆的弧线AmB的长度和小圆的直径相比，哪个比较长一些？

15．在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?

16．某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资)．已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日．问：这人打工结束的那一天是2月几日?

　1. 11.52立方米2.243.最后一集在星期五播出4. 原式等于 3.55.115176.59米

7. 5种8.0.5厘米9. 0.36元10. 11.21岁12. 150平方米13. 38名

14.大圆的弧线长一些15. 4316.416.2月18日

1.【解】一昼夜即：60×24＝1440分

一个成年人一昼夜吸入空气量是：500×16×1440＝11520000(立方厘米)，即11.52立方米

2.【解】乘积是两位数并且是5的倍数，因而最大是95.95÷5＝19，所以题中的算式实际上是

所以，所填四个数字之和便是1＋9＋9＋5＝24

3.【解】每星期播6集，84集播　84÷6＝14　个星期，第一集在星期日播出，所以最后一集在星期五播出.

4.【解】原式＝

＝

＝

5.【解】排成的最大的数是9951，最小的数是1566，因此，所求的和是9951＋1566＝11517

6.【解】当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同样的距离，这距离是(98－20)÷2＝39(米)，所以甲现在离起点39＋20＝59(米).

7.【解】要付2角3分钱，即23分．最多只能使用4枚5分币。因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币．使用3枚5分币时，5×3＝15，23－15＝8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有

23＝15＋(2＋2＋2＋2)，

23＝15十(2＋2＋2十1＋1)．

23＝15＋(2＋2＋1＋1＋1＋1)，3种支付方法

当使用4枚5分币时，5×4＝20，23－20＝3。所以2分币最多使用1枚，从而可有

23＝20＋(2＋1)

23＝20＋(1＋1＋1）2种支付方法，于是，共有5种不同的支付方法

8.【解】两个圆柱直径的比是1∶2，所以底面面积的比是1∶4，铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 ，即2× ＝O.5(厘米)

9.【解】甲吃(14－1)÷3＝ (两)，每两234÷ ＝54(分)，

丙应得54×(6－1－ )＝36(分)

答：应付给丙0.36元

10.【解】不妨设1是最小的半圆的半径.于是其余两种半圆的半径便是3和4分别用 及 表示涂有阴影及未涂阴影部分的面积由图可见

＝π× ＋ ×π× ＋ ×(π× －π× )＝5π，

＝π× － ＝11π，

所以

答：所求的比是 .

11.【解】设小明出生那年是 ，则1＋9＋a＋b＝95－10a－b

从而11a＋2b＝85

在a≥8时，11＋2b＞85；在a≤6时，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a＝7，b＝4。小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).

12.【解】把水池的面积作为1个单位．那么草地的面积便是3个单位，而竹林的面积是6个单位．从而竹林比草地多出的面积是(6－3＝)3个单位．3个单位的面积是450平方米，可见1个单位的面积是450÷3＝150(平方米)

答：水池占地150平方米

13.【解】因为50÷4＝12…余2，所以第一次有12名同学向后转；而50÷6＝8…余2，所以第二次有8名同学作向后转的动作，其中所报的数同时是4及6的倍数的同学，他们第一次已背向老师了，再作一次向后转动作，这几名同学又面向老师了。4及6的最小公倍数是12，所以作了2次向后转动作的人数是4．(因为50÷12＝4…余2)

于是现在仍面向老师的有50－12－(8－4)＋4＝38(名)

14.【解】首先，小圆的圆心必定位于两圆相重叠的区域之内否则，由下面左边的图可见，大圆盖住的部分不会达到小圆面积的一半.

设A、B为两圆圆周的交点，0是小圆的圆心0与大圆弧 在弦AB的同一侧连接OA，OB，延长AO交大圆弧线于C易见AC＋CB＝AO＋OC＋CBOA十OB＝小圆的直径，而大圆的弧线 ＞AC＋CB，所以它更大于小圆的直径.

15.【解】原来的总和是

10＋11＋…＋98＋99＝ ＝4905

被7除余2的两位数是7×2＋2＝16，7×3＋2＝23，…，7×13＋2＝93．

共12个数。这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的 ，因此这一手续使总和减少了

(16＋23＋…＋93)×(1－ )＝ × ＝588.6

所以，经过改变之后，所有数的和是4905－588.6＝4316.4

16.【解】因为3×7＜24＜4×7

所以24天中星期六和星期日的个数。都只能是3或4又，190是10的整数倍．所以24天中的星期六的天数是偶数再由240—190＝50(元)

便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六．由此逆推回去。便可知道开始的那一天是星期四因为．1月1日是星期日．所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子．

第五届华杯赛复赛试题及答案

计算：

2．甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学1天的时间。问：甲乙原订每天自学的时间是多少？

3．图5-4是由圆周、半圆周、直线线段画成的，试经过量度计算出图中阴影部分以外整个“猪”的面积（准确到1平方毫米）。

4．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：

羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼

以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：

羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼

这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。

对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算，运算的结果或是羊，或是狼。

求下列的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）

5．人的血通常为A型，B型，O型，AB型。子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：

父母的血型 子女可能的血型

O，O O

O，A A，O

O，B B，O

O，AB A，B

A，A A，O

A，B A，B，AB，O

A，AB A，B，AB

B，B B，O

B，AB A，B，AB

AB，AB A，B，AB

现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B。每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？

6． 一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡，在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同 时给左盘加20克砖码，这时两边也平衡，如从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，则须再放50克砖码于右盘上，两边才平衡。问：白球、黑 球每个重多少克？

7．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟能把水池的水排完。问：关闭进水阀并且同时开三个排水阀，需要几分钟才能排完水池的水？

8．把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？

9．从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需 小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？

10．在下图中的每个没有数字的格内各填入一个数，使每行、每列及每条对角线的三个格中的三数之和，都等于19.95时那么，画有“？”的格内所填的数是多少？

11．一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米，今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少厘米？

12．在编号1，2，3，的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水，1号杯中溶有100克糖，3号杯中溶有100克盐，先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的 倒入2号杯，然后搅匀，再从2号杯倒出所盛液体的 到1号杯，接着倒出所余液体的 到3号杯。

13． 的整数部分是多少？

14．一个周长是56厘米的大长方形，按图5-5中（a）与（b）所示意那样，划为四个小长方形，在（a）中小长方形面积的比是A∶B=1∶2，B∶C=1∶2。而有（b）中相应的比例是 ∶ =1∶3， ∶ =1∶3，又知，长方形 的宽减去D的宽所得到的差，与 的长减去的长所得到的差之比为1∶3。求大长方形的面积。

15．甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速 而乙车则增速 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们分别行驶了多少千米？

16．试说明，将和 写成一个最简分数m/n 时，m不会是5的倍数。

17．现有11块铁，每块的重量都是整数，任取其中10块，都可以分成重量都等的两组，每组有5块铁，试说明：这11块铁每块的重量都相等。

1. 原式等于 。 2. 原订每天自学42分钟 3．≈1093平方毫米 4．羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）=狼 5．穿红上衣的孩子的父母戴蓝帽子；穿黄上衣的孩子的父母戴黄帽子；穿蓝上衣的孩子父母戴红帽子。 6．每个黑黑重15克，每个白球重20克 7．需5分钟 8．共10种不同拆法，其中 最小 9．甲乙两地间公路长为210千米，从甲地到乙地须走140千米上坡路 10．所填的数是11.12 11．17．72 12．1、2、3号杯中的含盐量与含糖量之比依次为1∶9， 1∶2及76∶5。13．29 14．160平方厘米 15．甲车行驶了940千米，乙车行驶了310千米。 16．(见下) 17．(见下)

1.【解】原式＝

＝

＝1÷

＝

2.【解】改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟。

它是乙五天自学的时间，即乙现在每天自学：60÷(6－1)＝12(分)

原来每天自学的时间是：12＋30＝42(分)。

3.【解】经过量度，猪身由直径为42毫米的圆周围成，每条“腿”及一条“尾”都是直径6毫米的半圆；“猪头”外径34毫米，内径30毫米“猪鼻”外径14毫米，鼻头无阴影部分由两个直径5毫米的半圆及一个高5毫米、宽3毫米的矩形拼成，“鼻孔”由两个直径2毫米的半圆组成；“猪眼”由两个直径5毫米的半圆组成；“猪嘴”由直径7毫米的半圆组成，于是所求面积为

≈1093(平方毫米)

4.【解】因为狼△狼＝狼，所以原式＝羊△(狼☆羊)☆羊△狼，

无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者琅△狼总等于狼，所以原式＝狼

5.【解】题中表明，每个孩子的父母是同血型的，因此父母均O型，孩子必O型，父母均A型，孩子必A型(孩子为O型的情况已被排除，0型孩子的父母已经确定为O型)。父母为AB型，孩子为B型，即红、黄、蓝上衣的孩子，父母分别戴蓝、黄、红帽子。

6.【解】第一次挪动白球、黑球并给左盘加20克砝码而使天平平衡，说明4个黑球的重量等于2个白球的重量加20克，第二次挪动并给右盘加50克砝码而导致平衡，说明4个白球的重量等于2个黑球的重量加50克，即2个白球的重量等于1个黑球的重量加25克，所以4个黑球的重量等于1个黑球的重量加45克，即3个黑球的重量是45克，1个黑球的重量是15克。从而2个白球的重量是15＋25＝40克，1个白球的重量是20克。

7.【解】由题意，进水阀打开30分钟所注入水池的水量，等于1个排水阀30分钟的排水量与一满池水量之差；同时，它也等于2个排水阀30分钟的排水量与3满池水量之差。从而1个排水阀30分钟的排水量等于2满池的水量。换句话说，1个排水阀每分钟可排 池的水。3个排水阀每分钟可排 池的水。从而可知，只需5分钟便可在进水阀关闭的情形下排完满池水。

答：需5分钟。

8.【解】37＝3＋5＋29

＝2＋5＋7＋23＝3＋11＋23

＝2＋3＋13＋19＝5＋13＋19

＝7＋11＋19＝2＋5＋11＋19

＝7＋13＋17＝2＋5＋13＋17

＝2十7＋11＋17

共10种不同拆法其中3×5×29＝435最小

9.【解】由于从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地的下坡路一定，从乙地到甲地的上坡路把从乙地返回甲地的路，设想为从乙地到某丙地的路时，显然，从甲地到丙地的路程等于从甲、乙地路程的2倍，且其中恰有一半为上坡路，另一半是下坡路。从甲地到丙地的汽车费时为

9＋7.5 ＝16.5 (小时)

由于每千米上坡路费时1/20小时，每千米下坡路费时1/35 小时，

从而从甲地到乙地的路程等于210(千米)，

如果从甲地开往乙地全为上坡，9小时只走20×9＝180(千米)。少210－180＝30(千米)

每小时下坡比上坡多行35－20＝15(千米)，多行30千米需要30÷15＝2(小时)

因此从甲地到乙地，下坡用2小时，上坡用9－2＝7(小时)，行20×7＝140(千米)

答：甲乙两地间公路长为210千米，从甲地到乙地须走140千米上坡路。

【注】本题自然也可用解方程的办法求解，设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米依题意

于是(x＋y)( ＋ )＝16.5,

所以，x＋y＝210。将y＝210－x代入(1)式，得　 x＋ － x＝9，

即 x＋6＝9或 x＝1，所以x＝140。

10.【解】中央的数是19.95÷3＝6.65，因而第二列第一个数是19.95－6.65－8.80＝4.50

从而　?＝19.95－4.33－4.50＝11.12

11.【解】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为

＝17.72(厘米）

它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中，于是所求的水深便是17.72厘米。

　12.【解】第一，将1、3号杯中部分液体倒入2号杯之后，1号杯中含糖50克，2号杯中含糖50克、盐25克，3号杯中含盐75克

第二步，将2号杯中的号液体倒入1号杯后，1号杯中台糖50＋50× ＝ (克)，含盐25× ＝ (克)。2号杯中舍糖50× 克，含盐25× 克，3号杯中含盐75克。

第三步，将2号杯中液体的 倒入3号杯之后，1号杯中含糖 克，含盐 克；2号杯中含糖5O× × 克。含盐25× × 克；3号杯中含糖5O× × ＝ (克)，含盐75＋25× × ＝ (克)。

从而可知含盐量与含糖量之比对于1、2、3号杯，依次为1∶9，1∶2及76∶5。

13.【解】当两个数的和不变时，两数越接近(即差越小)它们积越大所以

8.03×1.22＜8.02×1.23＜8.01×1.24

从而

8.O1×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＜8.O1×11.24×3＜8×1.25×3＝30

8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22＞8×(1.24＋1.23＋1.22)＝8×3.69＝29.52

即8.O1×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是29。

14.【解】设大长方形的宽为x，则长为28－x

因为 ＝ x， ＝ x，所以， － ＝ 。

＝ (28－x)， ＝ (28－x),

－ ＝ (28－x),

由题设可知　 ∶ ＝

即 ＝ ，于是 ＝ ，x＝8。

于是，大长方形的长＝28－8＝20，从而大长方形的面积为8×20＝160平方厘米。

15.【解】在甲车第1次追上乙车的那一时刻。甲车的连度成为：160×(1－ )＝160×

乙车的速度成为20×(1＋ )＝20×

速度比变为原来的一半，原来速度比是 ＝8，所以在第3次甲追上乙时。两车速度相等。

甲第一次追上乙，用210÷(160－20)＝ (小时)，

第二次追上乙，用210÷(160× －20× )＝ (小时)，

第三次追上乙，用210÷(160× × －20× × )＝ (小时)，

从而甲车行驶了 ×160＋ × ＋ × ＝940(千米)，

乙车行驶了 ×20＋ × ＋ × ＝310(千米)

16.【解】分母中仅有25被52整除，因此通分后，公分母是52×a,a是不被5整除的自然数(事实上，a＝25×33×7×1×13×17×19×23×29×31×37)，并且除去 变为 外，其它分数的分子都是5的倍数。因而这些分数的和成为

25×a

其中b是自然数，由于a不是5的倍数,所以5×b＋a不是5的倍数，当然约分后得到的最简分数 的分子m不会是5的倍数。

17.【解】任取一块后，其余的可分成两组，重量相等，因此，其余的铁块的重量的和是偶数，换句话说，11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同。这样，11块铁的重量，或者全是奇数，或者全是偶数。

如果全是偶数，将每块铁的重量减少一半，仍然符合题中的条件。

如果全是奇数，将每块铁的重量增加1，仍然符合题中的条件。

不断采取以上两种做法。注意铁的重量增加1后，就应当除以2(即减少一半)。因此铁的总重量将不断减少。除非每块铁的重量都是1

因为铁的总重量不能无限的地减少下去，所以经过若干次上述的做法后，铁块的重量全变为1，即全都相等。将这一过程反回去，就知道上一步铁块的重量也都相等，于是最初的铁块重量也都相等。

第五届华杯赛决赛一试试题及答案

1.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本，那么将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?

2.自然数的平方按大小排成14916253649 ……问:第612个位置的数字是几?

3.有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂。问：可以得到多少种颜色不同的圆棒？

4．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同，而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的进间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发，问：当它们出发后第一次相遇各跑了多少路程？

5．弹子盘为长方形ABCD，四角有洞，子弹从A出发，路线与边成45°角，撞到边界即反弹，如右图所示，AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞问：AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞？在落入洞之前，撞击BC边多少次？（假定弹子永远按上述规律运动，直到落入一个洞为止）。

6．在1，2，3，…，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除

　参考答案

1.3元钱 2.是0 3.135种 4.狗跑了23437.5米；兔跑了16537.5米；猫跑了8437.5米 5.经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞 6.1254，210，1680，532，798，1330

1.【解】本数是15的倍数，也是10的倍数，因而是[15，10]＝30的倍数.

将每30本作为一组，原来每组分给 ＝2名女生，或 ＝3名男生。现在应分给5(＝2＋3)名学生(其中女生2名，男生3名)，所以每人得：30＋5＝6(本)，每人应付0.5×6＝3(元)

2.【解】1一3的平方是一位数，占去3个位置；

4—9的平方是二位数，占去12个位置；

1O一31的平方是三位数，占去66个位置；

32—99的平方是四位数，占去272个位置；

将1到99的平方排成一行，共占去3＋12＋66＋272＝353个位置，从612减去353，还有259个位置259＝51×5＋4。从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去259位置中的255个。151×151＝22801，从左到右的第4个位置上是0，这就是本题的答案，即第612个位置上的数是0。

3.【解】每段均有3种涂法，共有3×3×3×3×3＝243种涂法，其中颜色两头对称的（如黄红蓝红黄）的有3×3×3＝27种，而不对称的被重复计算了。所以可以得到（243－27）÷2＋27＝135（种）不同的圆棒。

4.【解】设猫跑1步的路程为S，则狗跑1步的路程为 S，兔跑1步的路程为 S；设猫跑1步的时间为t，则狗跑1步的时间为 t，兔跑1步的时间为 t，所以猫的速度为 ，狗的速度为 ，兔的速度为 ，设猫的速度为1，则狗的速度为 ，兔的速度为 ，即猫、狗、兔的速度之比为9×25∶25×25∶9×49＝225∶625∶441，即当猫跑225圈时，狗跑625圈，兔跑441圈，此时狗比兔多跑400圈，兔比猫多跑216圈，400与216的最大公约数为8，所以第一次相遇时狗比兔多跑50圈，兔比猫多跑27圈，此时猫跑了225×300÷8＝8437.5（米），狗跑了625×300÷8＝23437.5（米），兔跑了441×300÷8＝16537.5（米）。

5.【解】设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为(1994－k)格，距离A点为(k＋1)格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为(k＋1)格，

距离D点为[1994－(K＋1)]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[1994－(k＋1)]格，距离C点为1995－[1994－(K＋1)]＝K＋2格再撞击BC边的位置距离C点为k＋2格，即比前一次的位置下移2格。

第一次撞击BC边的位置离C点为1格以后每撞击BC边一次，距离增加2格，第n次撞击BC边的位置距离C点为(2n－1)格，当n＝997时，离C点有1993格，离B点只有1格经BC的反弹，撞击AB的位置离A点为1994格，再反弹就落入D洞。

答：经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞。

6.【解】 是自然数，所以1995－ =

也是自然数,即1995十a是1995×1995的约数

因为1995×1995＝32×52×72×192，它在1995与2×1995之间(不包括1995)的约数有

32×192＝3249,

7×192＝2527,

3×72×19＝2793,

52×7×19＝3325,

32×5×72＝2205,

3×52×72＝3675

于是a的值有6个，即

3249－1995＝1254。

2527－1995＝532。

2793－1995＝798，

3325－1995＝1330,

2205－1995=1680